I numeri di partizione come i frattali

Atlanta – Risolto da un giovane matematico della Emory University di Atlanta, in Georgia, uno dei problemi più difficili e affascinanti della matematica. Ecco di cosa si tratta. In quanti modi si può scrivere 4 come somma di altri numeri interi? Facile, in 5 modi.
Infatti:
4=4
4=3+1
4=2+2
4=2+1+1
4=1+1+1+1
Nel linguaggio matematico si dice che la partizione di 4 è 5 e si indica come P(4)=5. Ma qual è la partizione di 100? E quella di 100.000? Esiste un modo veloce per calcolare la partizione di qualunque intero senza perdersi in migliaia di calcoli astronomici? La domanda sembra banale ma ha tenuto impegnati per secoli i matematici che hanno tentato, invano, di trovare un’equazione che permettesse di risolvere il problema.
La sequenza dei numeri di partizione dei primi numeri naturali è P(0)=1, P(1)=1, P(2)=2, P(3)=3, P(4)=5, P(6)=7, P(8)11, P(9)=15, P(10)=42. Come di vede P(n) cresce velocemente al crescere di n. Per il numero 100 è maggiore di 190.000.000 Si tratta insomma di numeri grandi e scomodi da maneggiare. E oltretutto la sequenza dei numeri di partizione non segue, almeno in apparenza, nessuno schema logico.
A venire a capo del problema ci hanno provato in tanti: in particolare Eulero nel XVIII secolo e, negli anni ’20, il matematico indiano Ramanujan, che era riuscito a sviluppare una formula che permetteva di calcolare abbastanza agilmente P(n) per n inferiore o uguale a 200. La formula faceva uso del valore pigreco e ciò la rendeva imprecisa e pieno di decimali. Ma nel 1919 Ramanujan, poco prima di morire, lasciò un misterioso appunto nel quale indicava una non meglio specificata schematicità nella sequenza secondo le potenze di 5, 7, 11. Un indizio misterioso studiato da Ken Ono, un giovane matematico della Emory University di Atlanta, in Georgia che insieme ai suoi collaboratori è venuto a capo dell’enigma: i numeri di partizione si comportano come i frattali.
Non è semplice dare una precisa definizione di frattale. Possiamo però definire sommariamente il frattale come un oggetto geometrico caratterizzato dall’AUTO-SOMIGLIANZA. Ciò significa che ingrandendo un qualsiasi tratto di curva si visualizza un insieme di particolari altrettanto ricco e complesso rispetto al precedente. questo procedimento può proseguire all’infinito. Le sequenze delle partizioni sono insomma periodiche e si ripetono identiche a intervalli precisi. Ramanujan aveva ragione e il segreto di questo schema è nelle proprietà di divisibilità dei numeri di partizione.
Ono e i suoi collaboratori si sono spinti oltre e grazie a una serie di intuizioni geniali sono riusciti a sviluppare una formula che permette di calcolare P(n) per ogni numero intero pari a n. “I risultati di Ono sono sorprendenti” ha commentato George Andrews, presidente della American Mathematical Society. “Ha ideato una superstruttura matematica inimmaginabile fino a qualche anno fa. È un fenomeno”. Oltre che essere un affascinante problema matematico, le partizioni hanno molte implicazioni in diverse aree dell’algebra, della fisica, della statistica e dell’economia.